خطای روش های انتگرال گیری عددی

در این ویدئوی آموزشی به بررسی مبحث انتگرال گیری عددی در درس محاسبات عددی خواهیم پرداخت.

کیفیت فیلم بصورت پیش فرض بر روی حالت low تنظیم شده است و شما می توانید با استفاده از گزینه HD، این آموزش را با بالاترین کیفیت مشاهده نمایید.

شما می توانید با استفاده از گزینه “متن فیلم”، متن مربوط به حل سوال را مشاهده کنید.

//******************************************************************************************************************************************//

شما در پایان این آموزش می توانید درک مناسبی از خطای روش های انتگرال گیری بدست آورید. پیشنهاد می شود قبل از مشاهده این آموزش، مروری بر مبحث روش های انتگرال گیری عددی داشته باشید.

هر یک از روش های انتگرال گیری معرفی شده تا کنون دارای خطایی می باشند که از طریق فرمول هایی محاسبه و بررسی می گردد. این خطا در روش ذوزنقه به ازای  از طریق فرمول ( ET( h محاسبه می گردد.

با توجه به فرمول ( ET( h، روش ذوزنقه تنها برای توابع خطی دارای مقدار دقیق و بدون خطا می باشد، زیرا مقدار مشتق مرتبه دوم این توابع صفر است. اما در حالت کلی اگر M_۲ یک کران بالا برای مشتق مرتبه دوم تابع رو به رو باشد، در اینصورت فرمول کلی روش ذوزنقه جهت محاسبه خطا به شکل نشان داده شده می باشد که در آن a , b محدوده انتگرال گیری و M_۲ کران بالای مشتق مرتبه دوم است.

برای درک بهتر این مفهوم، مثال رو به رو را بررسی می کنیم، صورت سوال از این قرار است : تقریبی از مقدار h پیدا کنید به صورتی که جواب به دست آمده برای ، با استفاده از روش ذوزنقه، دارای خطای کمتر از باشد؟

ابتدا نیاز است که مشتقات مرتبه اول و دوم را محاسبه نماییم که به صورت رو به رو به دست می آیند. پس از آنکه مشتقات مرتبه اول و دوم محاسبه گردید نیاز است که کران بالایی برای مشتق مرتبه دوم تابع (f( x تعیین نماییم، در نتیجه همانطور که می دانیم،  قرار دارد، لذا به محاسبه کران بالا می پردازیم، که با معادل نویسی مشتق مرتبه دوم، کران بالا برابر با ۳ بدست می آید.

پس از آن که کران بالا برای مشتق مرتبه دوم تابع مورد نظر محاسبه گردید، می بایست مقادیر بدست آمده را در فرمول ۱ که همان خطای روش ذوزنقه است، جایگذاری کنیم، در حقیقت هر گاه بیان می گردد که خطا از مقداری مشخص کمتر گردد از فرمول ۱ استفاده می نماییم. در این فرمول اپسیلون برابر است با مقداری که خطا باید از آن کمتر باشد.

در ادامه با جایگذاری مقادیر a , b و M_۲ بدست آمده در مرحله قبل مقدار h برابر با ۰.۲ بدست خواهد آمد.

برای محاسبه خطای روش سیمپسون از فرمول ( ES( h استفاده می شود. با توجه به فرمول ( ES( h، روش سیمپسون برای توابع حداکثر مرتبه سه دارای جواب دقیق و بدون خطا می باشد زیرا مقدار مشتق مرتبه چهارم این توابع صفر است و در نتیجه مقدار ( ES (h برابر ۰ خواهد بود. اما در حالت کلی اگر M_۴ یک کران بالا برای مشتق مرتبه ۴ ام، تابع f باشد، در نتیجه با جایگزینی این کران بالا به جای مشتق مرتبه ۴، فرمول کلی بدست می آید.

بطور مثال همانطور که در صورت مثال رو به رو مشخص است، می خواهیم h را طوری بدست آوریم که مقدار دارای خطای حداکثر باشد؟

ابتدا نیاز است مشتق مرتبه ۴ ام تابع را بدست آوریم. پس از آن، نوبت به بررسی بازه ی انتگرال گیری می رسد، همانطور که می دانیم   است، لذا به محاسبه کران بالا می پردازیم. برای این کار، کران بالای قدر مطلق توابع مثلثاتی را برابر با ۱ در نظر می گیریم.

پس از آنکه مشتقات تابع فوق و بعد از آن کران بالا برای مشتق مرتبه ۴ ام تابع محاسبه گردید، در ادامه به نکته بسیار مهم می پردازیم بدین شرح که هر گاه بیان می گردد که خطا از مقداری مشخص کمتر گردد از فرمولی مانند فرمول ۱ استفاده می نماییم. در این فرمول اپسیلون برابر است با مقداری که خطا باید از آن کمتر باشد

و در انتها با جایگذاری مقادیر a , b، بازه ی انتگرال و کران بالای بدست آمده در مرحله قبل، مقدار تقریبی h برابر با مقدار رو به رو می شود.

همانطور که تا مرحله قبل بررسی گردید مقدار h بصورت تقریبی محاسبه شد اما در روش سیمپسون بدین علت که مقدار خطا با دقت بیشتری محاسبه می گردد نیاز است که مسئله ادامه پیدا کند. برای این منظور از فرمول نشان داده شده برای تعداد تقسیم بندی ها یا n استفاده می گردد. در این فرمول b-a اختلاف بازه انتگرال گیری می باشد و h برابر است با مقداری که در مرحله قبل محاسبه گردید.

از آنجا که این مقدار باید زوج بوده آن را برابر با ۱۴ در نظر گرفته و نهایتا مقدار h برابر با مقدار رو به رو می شود.