۱- با سلام، در این آموزش با حل سوال ۳۶ کنکور ارشد رشته ی کامپیوتر در سال ۹۴ با شما همراه هستیم.
در این آموزش ضمن حل سوال ۳۶ از کنکور ارشد کامپیوتر ۹۴، مروری هم بر مفهوم تابع گاما، توزیع گاما خواهیم داشت.
شما می توانید با استفاده از گزینه “متن فیلم”، متن مربوط به حل سوال را مشاهده کنید.
۲- صورت سوال به شرح روبرو می باشد: اگر طول عمر یک مؤلفه ی کامپیوتری از توزیع گاما با میانگین ۶ و واریانس ۱۸، تبعیت کند، احتمال این که این مؤلفه حداقل ۹ سال عمر کند، کدام است؟
۳- قبل از بررسی سوال، به یادآوری مفاهیم مرتبط با این سوال می پردازیم.
توزیع گاما با پارامترهای r و لاندا به صورت تعریف می شود. در این فرمول از تابع گاما استفاده می شود.
۴- که در حالت کلی به این صورت تعریف خواهد شد. در این رابطه اگر r یک عدد طبیعی باشد،
۵- می توان، رابطه ی تابع گاما را نیز به این صورت بیان کرد.
۶- که با جایگذاری، این رابطه از تابع گاما در توزیع گاما، رابطه رو به رو برای توزیع گاما به دست خواهد آمد.
۷- در ابتدای حل سوال، با استفاده از مقادیری که در صورت سوال، برای میانگین و انحراف معیار، در اختیار ما قرار داده شده است، به محاسبه ی پارامترهای توزیع گاما می پردازیم. برای این منظور، دو رابطه ی روبرو را داریم.
۸- که مقادیر میانگین و انحراف معیارآن، در صورت سوال آمده است. برای به دست آوردن مجهولات، یا می توان از حل معادله ی درجه ۲ استفاده نمود و مقادیر لاندا و r را محاسبه کرد.
۹- یا مانند روش روبرو عمل کرد: رابطه ی r تقسیم بر لاندا به توان دو را به این صورت می نویسیم.
۱۰- و با جایگذاری مقدار r تقسیم بر لاندا که همان میانگین داده شده در صورت سوال است، مقدار لاندا را محاسبه می کنیم.
۱۱- سپس با جایگذاری مقدار لاندا در رابطه ی اول، r را به دست می آوریم. بنابراین پارامترهای توزیع گاما به دست می آید.
۱۲- حال که مقادیر لاندا و r را که محاسبه شده را در توزیع گاما جایگذاری می کنیم که با ساده سازی آن
۱۳- برای توزیع گاما در سوال، به این عبارت دست می یابیم.
۱۴- به صورت سوال باز می گردیم. در صورت سوال از ما خواسته شده است، احتمال این که مولفه حداقل ۹ سال عمر کند را به دست آوریم.
۱۵- بنابراین باید از رابطه ی به دست آمده، انتگرال گرفت. بازه ی انتگرال گیری با توجه به خواسته ی مسئله، از ۹ تا بی نهایت است.
۱۶- برای محاسبه ی انتگرال، باید از رابطه ی انتگرال ناسره، برای بازه ی نامتناهی استفاده نماییم. با توجه به این رابطه، اگر انتگرال از a تا t ، f(x)dx به ازای هر t بزرگتر یا مساوی a، موجود باشد، آن گاه می توان انتگرال از a تا بی نهایت f(x)dx را به صورت limit انتگرال از a تا t ، f(x)dx نوشت وقتی که t به سمت بی نهایت میل می کند.
۱۷- با استفاده از این فرمول، انتگرال ما به صورت روبه رو خواهد شد. برای حل این انتگرال از تکنیک جزء به جزء استفاده می نماییم.
۱۸- با انتخاب x به عنوان u و e به توان منفی x سوم، به عنوان dv ، مقادیر du و v را محاسبه می نماییم.
۱۹- با توجه به فرمول انتگرال گیری جزء به جزء، که به صورت مقابل تعریف می شود،
۲۰- فرمول انتگرال، با جایگذاری مقادیر به دست آمده، به این رابطه تبدیل خواهد شد.
۲۱- از این رابطه استفاده می کنیم، و حد بالا و حد پایین را برای قسمت اول، در عبارت معادلش جایگزین می نماییم.
۲۲- با این کار این رابطه حاصل می شود. سپس به محاسبه ی انتگرال قسمت دوم می پردازیم و حد بالا و پایین را برای نتیجه ی به دست آمده از آن جایگذاری می کنیم.
۲۳- در نهایت به این عبارت خواهیم رسید. سپس حد این عبارت را زمانی که t به سمت بی نهایت میل می کند به دست می آوریم،
۲۴- که در نتیجه حد مقادیر مشخص شده در بی نهایت،برابر با صفر خواهد شد.
۲۵- با ساده سازی مقادیر موجود، احتمال این که مولفه حداقل ۹ سال عمر کند، به دست می آید.
۲۶- بنابراین پاسخ صحیح این سوال، گزینه ی ۱ خواهد بود.