روش های انتگرال گیری عددی

در این ویدئو آموزشی به بررسی مبحث انتگرال گیری عددی در درس محاسبات عددی خواهیم پرداخت.

کیفیت فیلم بصورت پیش فرض بر روی حالت low تنظیم شده است و شما می توانید با استفاده از گزینه HD، این آموزش را با بالاترین کیفیت مشاهده نمایید.

شما می توانید با استفاده از گزینه “متن فیلم”، متن مربوط به حل سوال را مشاهده کنید.

//******************************************************************************************************************************************//

شما در پایان این آموزش می توانید درک مناسبی از روش های انتگرال گیری بدست آورید. پیشنهاد می شود قبل از مشاهده این آموزش، مروری بر مبحث انتگرال ها داشته باشید.

قبل از بررسی روش های انتگرال گیری عددی، به مرور این مبحث می پردازیم. هر گاه برای محاسبه انتگرال  تابع اولیه موجود نباشد و یا تابع بصورت جدولی از مقادیر ارائه گردد نیاز به استفاده از روش انتگرال گیری عددی می باشد. اگر بازه ی انتگرال را برابر h بگیریم، آنگاه می توان h را به صورت روبه رو بدست آورد.

هرگاه برای حل این گونه مسائل جدولی از مقادیر ارائه گردد، می توان تابع ( f( x را با یک چند جمله ای مانند( p( x تخمین زد به نحوی که به جای محاسبه ی انتگرال تابع رو به رو، به حل انتگرال این چند جمله ای پرداخت.

با استفاده از دانسته هایی که از قسمت درون یابی می دانیم، می توان این چند جمله ای را به فرم روبه رو نوشت. بنابراین می توان انتگرال چند جمله ای( p( x را به صورت رو به رو نوشت. حال اگر به جای انتگرال مشخص شده، عبارتی مانند A_k را، به فرم مشخص شده در نظر بگیریم، می توان حاصل نهایی انتگرال را بصورت  نوشت.

روش ذوزنقه و روش سیمپسون، دو روش متداول در انتگرال گیری عددی می باشند که در ادامه به بررسی هر دو روش خواهیم پرداخت.

جهت بررسی روش ذوزنقه، این مثال را بررسی می کنیم.

مطلوب است محاسبه انتگرال داده شده با استفاده از اطلاعات جدول مقادیر که بصورت رو به رو تعریف شده است؟ مقادیر h را برابر با ۰.۲، ۰.۱،۰.۰۵ در نظر بگیرید.

در ایـن روش، چند جمله ای درونیاب تابع f را در نقاط    و به دست می آوریم و به ایجاد یک سری ذوزنقه می پردازیم و با یک چند جمله ای مرتبه یک انتگرال را جایگزین می نماییم، در این شکل مساحت ذوزنقه ای به قاعده ی  و  و ارتفاع h را محاسبه می نماییم.

و در نهایت می توان انتگرال تابع موردنظر را برابر با( T( h که تقریبی از مقدار انتگرال در روش ذوزنقه است، قرار داد. فرم این تابع را مشاهده می کنید.

حال به حل مثال ذکر شده می پردازیم. برای حل این مثال از تابع معادل( T( h در روش ذوزنقه استفاده می کنیم. همانطور که در صورت مسئله بیان گردید، مسئله را به ازای h های مختلف حل می کنیم. براساس هر یک از h های موجود تعداد تقسیم بندی تغییر می کند. تمامی این تقسیم بندی ها براساس مقادیر h و جدول موجود در صورت سوال بدست می آید.

جهت بررسی روش سیمپسون، مقدار انتگرال مثال قبل را این بار با جدول مقادیر جدید و با ۲ و ۰.۱۵ =h  بدست می آوریم. همچنین در راهنمایی سوال آمده است که با در نظر گرفتن ، مقدار تخمین زده شده را با مقدار واقعی مقایسه نماییم.

در روش سیمپسون انتگرال  با یک چند جمله ای مرتبه دوم در فاصله [  و  ] تقریب زده می شود و بصورت فرمول رو به رو تعریف می گردد.

در این روش برای به دست آوردن تقریب، چند جمله ای درجه دوم را جایگزین تابع فوق در بازه  [  و  ] می نماییم، لذا باید n که تعداد تقسیم بندی های موجود است زوج باشد تا بتوان فرمول رو به رو را بدست آورد.

برای حل مثال، نیازمند به جایگذاری مقادیر در ( s( h می باشیم. حال همانطور که مشخص است، در صورت سوال h را برابر ۲ انتخاب کرده و سپس در ( s( h جایگزین می کنیم.

حال اگر انتگرال را با توجه به مقدار فرض شده برای تابع اصلی در صورت سوال، محاسبه نماییم، برابر با مقدار رو به رو می شود، که بسیار نزدیک به مقدار محاسبه شده با استفاده از روش سیمپسون است.

در آموزش بعدی به بررسی خطای روش های انتگرال گیری می پردازیم.